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Aichetou Bouchareb's PhD Defense

2018-11-28T00:00:00+01:00

Co-clustering large scale mixed data

My Phd student Aichetou Bouchareb (jointly advised by Marc Boullé from Orange Labs) worked during her thesis on co-clustering mixed data. With Marc, we have been working since a few years on improvement and extension of his MODL framework. This is a fully automated non parametric density estimation technique based on grids which we extended in particular to graph clustering during the Phd thesis of Romain Guigoures.

In Aichetou's work, the main goal was to enable true mixed data co-clustering. It is indeed quite easy to extend model based co-clustering to mixed data with both binary variables and numerical ones. However, variable clusters are not mixed in this case as they are either numerical or binary. Aichetou defined an extension of MODL to the case where mixed clusters are possible. The key idea is to introduce a intermediate level of clustering: rather than clustering variables, we cluster so-called "variable part". A variable part is a cluster of values taken by a variable, for instance an interval of values for a numerical variable. Once the value space of each variable has been partitioned into variable parts, we can cluster those parts with no type constraint. Aichetou defined a generative model based on this principle. She derived a prior distribution on its parameters and an estimation strategy based on the MAP principle. The strategy optimizes everything, including value spaces partitioning.

This work is covered by the following publications:

Un modèle Bayésien de co-clustering de données mixtes (2018) Aichetou Bouchareb, Marc Boullé, Fabrice Rossi and Fabrice Clérot. In Actes de la 18ème Conférence Internationale Francophone sur l'Extraction et gestion des connaissances (EGC'2018), edited by Christine Largeron, Hanane Azzag and Mustapha Lebbah, volume RNTI-E-34, pages 275-280, Paris, France, January 2018.
publisher version hal preprint (pdf) bib
Co-clustering de données mixtes à base des modèles de mélange (2017) Aichetou Bouchareb, Marc Boullé and Fabrice Rossi. In Actes de la 17ème Conférence Internationale Francophone sur l'Extraction et gestion des connaissances (EGC'2017), edited by Fabien Gandon and Gilles Bisson, volume RNTI-E-33, pages 141-152, Grenoble, France, January 2017.
publisher version hal preprint (pdf) bib
Application du coclustering à l'analyse exploratoire d'une table de données (2017) Aichetou Bouchareb, Marc Boullé, Fabrice Clérot and Fabrice Rossi. In Actes de la 17ème Conférence Internationale Francophone sur l'Extraction et gestion des connaissances (EGC'2017), edited by Fabien Gandon and Gilles Bisson, volume RNTI-E-33, pages 177-188, Grenoble, France, January 2017.
publisher version hal preprint (pdf) bib

The defense

took place on the 28th of November. Aichetou gave an inspiring speech in front of the following jury:

Prof. Julien Jacques, Université Lyon 1, reviewer
Prof. Mohamed Nadif, Université Paris Descartes, reviewer
Prof. Gilbert Saporta, Cnam, president of the jury
Dr. Gilles Bisson, CNRS, LIG
Mr. Fabrice Clérot, Orange Labs Lannion
Dr. Marc Boullé, Orange Labs Lannion, co-adviser

and myself.

The summary of the thesis follows:

Co-clustering is a class of unsupervised data analysis techniques aiming at extracting the underlying dependency structure between the rows and columns of a data table in the form of homogeneous blocks, known as co-clusters. These techniques can be distinguished into those that aim at simultaneously clustering the instances and variables, and those that aim at clustering the values of two or more variables of a data set. Most of these techniques are limited to variables of the same type, and are hardly scalable to large data sets while providing easily interpretable clusters and co-clusters. Among the existing value based co-clustering approaches, MODL is suitable for processing large data sets with several numerical or categorical variables. In this thesis, we propose a value based approach, inspired by MODL, to perform a simultaneous clustering of the instances and variables of a data set with potentially mixed-type variables. The proposed co-clustering model provides a Maximum A Posteriori based summary of the data that can be used as it is for exploratory analysis of the data. When the summary is large, exploratory analysis tools, such as model coarsening, can be used to simplify the co-clustering which facilitates the interpretation of the results. We show that the proposed co-clustering approach can handle large data and extract easily interpretable clusters from mixed data with more than 10 millions observations. We also show the robustness of the approach, its capacity to extract inter-dependence between the variables, and its good behavior in extreme cases such as in the case of pattern-less data and in the case of perfectly correlated variables.
Aichetou Bouchareb, A regularized approach of instances x variables co-clustering for exploratory data analysis

The thesis is available on TEL here.

Welcome to Elie Mengin

2018-03-01T00:00:00+01:00

We are welcoming in my research group (statistical learning and networks) a new Ph. D. student, Elie Mengin. He will be pursuing a Ph. D. in collaboration Quarkslab and under my supervision.

Elie will be working on machine learning for computer security, with a particular focus on two topics: static analysis of binaries and dynamic analysis of instrumented programs.

You can find more information about him on his linkedin profile.

Marco Corneli's PhD Defense

2017-11-17T00:00:00+01:00

Generative models for Dynamic Graphs

My Phd student Marco Corneli (jointly advised by Pierre Latouche) worked during his thesis on dynamic graphs.

The core idea of the thesis was to avoid the snapshotting trick which is generally used to turn interaction data with continuous time stamps into a time series of interaction graphs. While this is a nice way to switch to a discrete time view, one needs to have an idea of the natural time scale of the interaction process. We need also to assume that this time scale is somewhat stationary. My first incursion in this non snapshotting idea was during the Phd thesis of Romain Guigoures. We studied at that time a variant of the MODL approach. In the present thesis, we focused on generative models.

The key idea was to consider that the flow of interactions between two actors follows a non homogeneous Poisson point process. Then we assumed the intensity function to depend on pairwise hidden latent variables. In other words the temporal behavior of the intensity between two actors depend only on the classes of those actors.

Using this idea as a guide, Marco was able to develop several models for dynamic graphs. Some of them still use a snapshotting trick, especially the quite advanced one that mixes text and dynamic graphs, but one of them achieve the initial goal of the thesis by enabling us to analyze dynamic interactions in continuous time.

This work is covered by the following publications:

Multiple change points detection and clustering in dynamic networks (2018) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. Statistics and Computing, volume 28, number 5, pages 989-1007, September 2018.
doi:10.1007/s11222-017-9775-1 hal bib
Exact ICL maximization in a non-stationary temporal extension of the stochastic block model for dynamic networks (2016) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. Neurocomputing , volume 192, pages 81 - 91, June 2016.
doi:10.1016/j.neucom.2016.02.031 arXiv:1605.02540 hal preprint (pdf) bib
Block modelling in dynamic networks with non-homogeneous Poisson processes and exact ICL (2016) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. Social Network Analysis and Mining, volume 6, number 1, pages 55, 2016.
doi:10.1007/s13278-016-0368-3 arXiv:1707.02780 hal preprint (pdf) bib
Modelling Time Evolving Interactions in Networks Through a Non Stationary Extension of Stochastic Block Models (2015) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. In Proceedings of the 2015 IEEE/ACM International Conference on Advances in Social Networks Analysis and Mining (ASONAM 2015), pages 1590-1591, Paris, France, August 2015.
doi:10.1145/2808797.2809348 publisher version hal preprint (pdf) bib
Modelling time evolving interactions in networks through a non stationary extension of stochastic block models (2015) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. In Actes des 47èmes Journées de Statistique de la SFdS, Lille, France, June 2015.
arXiv:1509.02347 hal preprint (pdf) bib
Exact ICL maximization in a non-stationary time extension of the latent block model for dynamic networks (2015) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. In Proceedings of the 23-th European Symposium on Artificial Neural Networks, Computational Intelligence and Machine Learning (ESANN 2015), pages 225-230, Bruges, Belgique, April 2015.
publisher version arXiv:1506.04138 hal preprint (pdf) bib
Modelling time evolving interactions in networks through a non stationary extension of stochastic block models (2015) Marco Corneli, Pierre Latouche and Fabrice Rossi. In Abstract book of the Fith International Workshop on Social Network Analysis (ARS'15), pages 21, Anacapri, Italy, April 2015.
hal preprint (pdf) bib

The defense

took place on the 17th of November. Marco gave a brilliant speech in front of the following jury:

Prof. Christophe Biernacki, Université Lille 1, reviewer
Prof. Thomas Brendan Murphy, University College Dublin, reviewer
Dr. Allou-Badara Samé, IFSTTAR, president of the jury
Dr. Clémence Magnien, CNRS
Dr. Sophie Lèbre, Université Paul Valéry Montpellier 3
Dr. Pierre Latouche, co-adviser

and myself.

The summary of the thesis follows:

Graphs are mathematical structures very suitable to model interactions between objects or actors of interest. Several real networks such as communication networks, financial transaction networks, mobile telephone networks and social networks (Facebook, Linkedin, etc.) can be modeled via graphs. When observing a network, the time variable comes into play in two different ways: we can study the time dates at which the interactions occur and/or the interaction time spans. This thesis only focuses on the first time dimension and each interaction is assumed to be instantaneous, for simplicity. Hence, the network evolution is given by the interaction time dates only. In this framework, graphs can be used in two different ways to model networks: 1) Discrete time. A network is observed at several times and a graph is associated with each observation time. Two nodes of a graph are connected if one or more interactions occurred between them in the corresponding time frame. Thus, interactions are aggregated between two consecutive observation times and the exact interaction dates are lost. In this context, a dynamic network is represented by a sequence of graphs. 2) Continuous Time. Several edges are allowed to connect the nodes of a graph at different times. One edge is uniquely associated with a pair of nodes and a time point. No aggregation is required and interaction times are never lost. Therefore, a dynamic network is represented by a single multiple graph whose edges are labeled by the interaction times. In this thesis both these perspectives are adopted, alternatively. We consider new unsupervised methods to cluster the nodes of a graph into groups of homogeneous connection profiles. In this manuscript, the node groups are assumed to be time invariant to avoid possible identifiability issues. Moreover, the approaches that we propose aim to detect structural changes in the way the node clusters interact with each other. The building block of this thesis is the stochastic block model (SBM), a probabilistic approach initially used in social sciences. The standard SBM assumes that the nodes of a graph belong to hidden (disjoint) clusters and that the probability of observing an edge between two nodes only depends on their clusters. Since no further assumption is made on the connection probabilities, SBM is a very flexible model able to detect different network topologies (hubs, stars, communities, etc.). By adapting the block modeling perspective of SBM to dynamic graphs, the main contributions of this thesis are the following: 1. We introduce a new extension of SBM for dynamic graphs. The proposed approach, called dSBM, adopts non homogeneous Poisson processes to model the interaction times between pairs of nodes in dynamic graphs, either in discrete or continuous time. The intensity functions of the processes only depend on the node clusters, in a block modeling perspective. Moreover, all the intensity functions share some regularity properties on hidden time intervals that need to be estimated. 2. A recent estimation algorithm for SBM, based on the greedy maximization of an exact criterion (exact ICL) is adopted for inference and model selection in dSBM. To the best of our knowledge, this is the first time this algorithm is adopted for inference in dynamic stochastic block models. 3. An exact algorithm for change point detection in time series, the "pruned exact linear time" (PELT) method is extended to deal with dynamic graph data modeled via dSBM. The approach we propose can be used for change point analysis in graph data. 4. A further extension of dSBM is developed to analyze dynamic networks with textual edges (like social networks, for instance). In this context, the graph edges are associated with documents exchanged between the corresponding nodes. The textual content of the documents can provide additional information about the dynamic graph topological structure. The new model we propose is called "dynamic stochastic topic block model" (dSTBM). This manuscript is organized as follows. In the first chapter, we pass through the main notions of graph theory and review some stylized facts about real networks. Two formal definitions of dynamic graph are provided. Then, the main existing generative models for static and dynamic random graphs are presented along with their associated inference procedures. Finally, some statistical tools not necessarily related with network analysis are described in detail since they are used in later chapters. In the second chapter, two versions of dSBM are introduced, both dealing with discrete time dynamic graphs. The corresponding inference procedure aims to maximize the complete data integrated log-likelihood, thus allowing us to learn the model parameters and select the number of clusters at the same time. In the third chapter, we model continuous time dynamic graphs via dSBM and focus on clustering and change point analysis in graph data. A standard variational approach is adopted for the inference and one step of the estimation algorithm relies on the PELT method. Finally, the fourth chapter introduces the dSTBM for discrete time dynamic graph with textual edges. The inference procedure is detailed and a model selection criterion is formally obtained. The last part of each chapter is devoted to experiments on both simulated and real data. These experiments allow us to highlight the features of the proposed approaches and to compare them with alternative methods. Marco Corneli, Dynamic stochastic block models, clustering and segmentation in dynamic graphs

The thesis is available on TEL here.

Welcome to Nicolas Jouvin

2017-10-17T00:00:00+02:00

We are welcoming in my research group (statistical learning and networks) a new Ph. D. student, Nicolas Jouvin. His grant is funded by the DIM-MathInnov program from Région Île-de-France, and he will work in collaboration with Institut Curie, a specialized hospital in cancerology. Nicolas will be advised by Pierre Latouche.

Nicolas is from Paris and did most of his undergraduate studies in Paris 1 Panthéon-Sorbonne university. He finished his postgraduate studies by a Master's degree at the ENS Paris Saclay, majoring in Statistical Learning and a minor in Computer Vision.

For his Ph. D., he will work on medical data in collaboration with anatomopatologist at the Institut Curie. The goal is to develop new techniques in order to segment an image, e.g. a biopsy, with the help of the text associated to it, e.g. an anatomopatological report.

You can find more information about him on his web page.

Welcome to Antoine Lucquiaud

2017-10-17T00:00:00+02:00

We are welcoming in my research group (statistical learning and networks) a new Ph. D. student, Antoine Lucquiaud, on an ENS Paris-Saclay scholarship. Antoine will be co-advised by Julien Randon-Furling and myself.

Antoine was born in Lorient (Brittany), where he also attended high school and Classes Préparatoires aux Grandes Écoles. He was then admitted to École Normale Supérieure Paris-Saclay (formerly ENS Cachan). He completed a Master's degree in Complex Systems at Université Pierre et Marie Curie, as well as a MA in Teaching for Physics and Chemistry (Agrégation).

His PhD work investigates complex socio-economic systems, exploring in particular the impact of random interventions on the global efficiency of such systems.

Welcome to Florian Barbaro

2017-09-20T00:00:00+02:00

We are welcoming in my research group (statistical learning and networks) a new Ph. D. student, Florian Barbaro. He will be pursuing a CIFRE Ph. D. under my supervision in collaboration with BGFi Consulting, a subsidiary of ADNEOM.

Florian is originally from Corsica but received his education in Nice, notably at the Ecole Préparatoire aux Grandes Écoles. He then completed his undergraduate studies at ECE Paris, majoring in financial engineering with a minor Big Data.

For his Ph. D., he will try to quantify the impact of press releases on financial market using semantic analysis and machine learning.

You can find more information about him on his linkedin profile.

Humanités et Statistiques

2017-07-07T00:00:00+02:00

Numéro spécial « Humanités et Statistiques »

Après un long travail éditorial, j'ai le plaisir d'annoncer la publication du Journal de la Société Française de Statistiques sur le thème « Humanités et statistiques ».

Stéphane Lamassé et moi même sommes très heureux d'avoir pu mener à bien ce projet. Le numéro spécial regroupe six articles de grande qualité qui donnent une bonne idée de l'état actuel des collaborations entre chercheurs des sciences humaines et statisticiens. Notre éditorial propose une courte synthèse du contenu avec quelques réflexions générales personnelles.

En vous souhaitant une bonne lecture !

Humanities and Statistics

2017-07-07T00:00:00+02:00

"Humanities and statistics" special issue

After a long editorial work, I'm pleased to announced the publication of a special issue of the Journal de la Société Française de Statistiques about "Humanities and statistics".

Stéphane Lamassé and myself are pleased to have managed to publish this special issue. It contains six high quality papers who provide an interesting panorama of the current state of collaborations between researchers from the humanities and statisticians. Our editorial summarizes the papers and give a few personal comments on the field.

We hope you will enjoy reading the special issue as much as we enjoy editing it.

Conan : les relances

2017-02-04T00:00:00+01:00

Après une première analyse simple des combats dans le jeu Conan, j'approfondis ici l'analyse en tenant compte des possibilités de relance des dés. Mais avant, revenons au combat d'Hadrathus et Zogar Sag…

Hadrathus contre Zogar Sag, le retour

Dans la note précédente, nous avions laissé notre sorcier Hadrathus bien désemparé en face de Zogar Sag, avec une probabilité estimée rapidement à 1 sur 1 million de tuer son ennemi (à la dague, une idée qui semble assez peu stratégique, quand on y réfléchit bien…).

Stratégies simples

Revenons sur les stratégies simples où Hadrathus reste actif à tous les tours et dépense les deux gemmes qu'il récupère en début de chaque tour. Ceci lui permet de faire deux attaques à deux dés ou une attaque à trois dés à chaque tour. En tenant compte de la défense passive de 3 de Zogar Sag, les probabilités de causer différents niveaux de dégâts sont données dans la table suivante :

Dégâts	0	1	2	3
une fois 2 dés	97,22%	2,78%	0%	0%
deux fois 2 dés	94,52%	5,40%	0,08%	0%
une fois 3 dés	87,04%	9,72%	2,78%	0,46%

Il est clair d'après cette table (si, si) que la bonne stratégie est ici d'attaquer une seule fois par tour avec 3 dés.

Quand Hadrathus attaque 8 fois de suite avec 3 dés, il peut faire au total de 0 à 24 dégâts. La probabilité de faire 1 dégât par attaque est assez faible pour qu'il y ait environ 1/3 de chance de ne faire aucun dégât au total sur 8 attaques ! Après quelques calculs (fait par un programme, vu la lourdeur des modèles), on montre que la probabilité de tuer Zogar Sag (c'est-à-dire de lui causer au moins 5 dégâts) est de environ 0,025794, en gros 2,6%. Autant dire qu'attaquer Zogar Sag avec Hadrathus ne semble pas l'idée du siècle, au moins avec la stratégie de base.

Stratégies un peu plus avancées

On peut légitimement se demander si des stratégies plus subtiles sont utiles dans cette situation. Par exemple, Hadrathus pourrait se reposer pour récupérer 5 gemmes au lieu de 2 et faire des attaques plus puissantes. Pour analyser ce type de stratégie, il faut compléter la table ci-dessus pour voir les dégâts causés par des attaques avec plus de 3 dés. On a ainsi :

Dégâts	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4 dés	71,991%	16,512%	8,025%	2,778%	0,617%	0,077%	0%	0%	0%	0%
5 dés	55,787%	20,448%	13,529%	6,816%	2,572%	0,707%	0,129%	0,013%	0%	0%
6 dés	41,03%	21,123%	17,438%	11,325%	5,813%	2,347%	0,729%	0,167%	0,026%	0,002%

On constate que même avec une attaque à 6 dés (jaunes), la probabilité de ne faire aucun dégât reste assez élevée (41 % !). En outre, l'ajout de dés augmente bien sûr la probabilité de faire un nombre important de dégâts, mais dans des proportions infimes. Avec une attaque à 6 dés, faire au moins 5 dégâts et donc tuer Zogar Sag d'un seul coup n'arrive que dans moins de 3.3 % des cas. Sur 4 attaques à 6 dés (le maximum faisable dans ce scénario en alternant repos et action), la probabilité de ne jamais faire un tel score est d'environ 87 %. Autant dire qu'il ne faut pas trop rêver…

Cependant, Hadrathus a tout de même plus d'une chance sur deux de faire au moins 1 dégât à chaque attaque à 6 dés. On peut donc se dire qu'avec un peu de chance et en enchaînant 4 attaques, Hadrathus devrait pouvoir tuer Zogar Sag. En calcul un peu lourd montre qu'il a seulement 56,35 % de chance de tuer Zogar Sag. C'est évidemment bien mieux que dans le cas des attaques faibles répétées, mais cela reste relativement bas.

De façon intéressante, l'analyse en dégât moyen ne fonctionne pas très bien ici. En effet, le nombre moyen de dégâts effectué par une attaque à 6 dés est ici d'environ 1,31. De ce fait, le nombre moyen de dégâts sur 4 attaques est de 5,24. On s'attend donc « en moyenne » à tuer Zogar Sag. C'est bien ce qui se passe (dans un peu plus d'une partie sur 2, Zogar Sag sera tué par les 4 attaques), mais il est très difficile d'interpréter ce qu'on peut bien vouloir dire par « en moyenne ». On voit bien notamment que si le nombre de dégâts moyen était plus élevé, par exemple 6, la probabilité de tuer Zogar Sag devrait aussi être plus élevée. Cependant, on ne voit pas bien comment lier simplement le dépassement à une probabilité de succès. Plus généralement, le fait de dépasser un seuil en terme de dégâts moyens ne donne pas beaucoup de renseignement sur la probabilité d'effectivement dépasser le dit seuil. C'est un phénomène statistique très classique : la moyenne ne donne pas beaucoup de renseignement sur les probabilités, contrairement à d'autres indices comme la médiane.

Stratégies de conservation des gemmes

On voit qu'un changement de stratégie (8 attaques à 2 dés contre 4 attaques à 6 dés) change radicalement les probabilités de succès (de 2,6 % à 56,3 %), ce qui montre le potentiel stratégique du jeu. Il n'est pas très utile d'aller plus loin dans l'analyse stratégie tant qu'on ne tient pas compte des relances. Je repousse donc l'exploration des stratégies à d'autres notes. Pour donner une idée des possibilités, voici tout de même un petit avant goût.

Dans le scénario « Dans les griffes des Pictes », Hadrathus peut atteindre la hutte de Zogar Sag par une téléportation impliquant la consommation de 5 gemmes. Il arrive donc dans la hutte avec 2 gemmes. La stratégie à attaques faibles consiste, comme je l'ai déjà écrit plusieurs fois, à consommer ces 2 gemmes pour une attaque à 3 dés puis à répéter pour chaque tour la même opération : se déclarer actif, récupérer 2 gemmes et faire une attaque à 3 dés.

Hadrathus pourrait cependant faire beaucoup d'autres choses. On a en effet au début de chaque tour les deux choix, actif ou en récupération. On a donc 256 stratégies de base possible selon le choix fait au début de chacun des huit tours. Ensuite, toujours en négligeant relance, mouvement, etc. Hadrathus peut consommer un certain nombre de gemmes pour des attaques s'il est actif au tour concerné. Le nombre de gemmes disponible est donné par son comportement passé, ce qui multiplie les possibilités. Par exemple, si on démarre comme indiqué ci-dessus (premier tour actif, téléportation), reste à choisir ce qu'on fait des 2 gemmes restantes. Si Hadrathus n'attaque pas, il disposera au tour suivant de 4 gemmes (s'il est actif). Donc rien que sur les 2 premiers tours effectués tous deux de façon active, on peut avoir soit 2 attaques à 3 dés (2 gemmes consommées dans chaque tour), soit une attaque à 5 dés (4 gemmes consommées au deuxième tour), soit des stratégies intermédiaires (probablement peu efficaces contre Zogar Sag), comme une attaque à 2 dés au premier tour puis une attaque à 4 dés au second, etc.

La multiplication des stratégies fait qu'il me sera probablement impossible de faire une analyse complète de celles-ci, même dans le cas simple considéré ici. Cependant, il est probablement possible de comprendre quelques éléments par simulations sur ordinateur. À voir dans une prochaine note…

Les relances

La plus grosse simplification utilisée jusqu'à présent a consisté à ignorer la possibilité de relancer certains dés. Même en négligeant l'impact stratégique induite par la consommation en gemmes des relances, cette simplification fausse les résultats, comme nous allons le voir maintenant.

Principes

Dans Conan, on dispose de deux types de relance de dés :

les relances gratuites: sont associées à certaines unités, certaines armes et à certaines compétences. On relance alors un (ou des) dé(s) sans dépenser de gemmes ;
les relances payantes: qui sont toujours possibles mais qui demandent de dépenser une gemme pour chaque dé relancé.

Bien entendu, certains lancers conduisent à toujours effectuer les relances gratuites disponibles. En revanche, la pertinence des relances payantes s'inscrit dans une analyse stratégie globale d'optimisation de l'emploi des gemmes. De ce fait, on se contentera dans la présente note d'étudier l'impact des relances sur les résultats sans tenir compte de leur coût en gemmes.

Un point crucial à noter dans l'analyse des relances est que le choix des dés à relancer se fait toujours après le lancer. Par exemple, la hache de bataille donne un bonus de un dé rouge relançable. Si Conan s'en équipe, il attaque en lançant 2 à 6 dés rouges. Après le lancer, le joueur peut choisir n'importe lequel des dés et le relancer (gratuitement). Il ne faut pas isoler un dé rouge avant le lancer pour représenter l'arme. Celle-ci apporte un bonus à l'attaque dans son ensemble.

Un seul dé

Étudions d'abord l'effet d'une relance sur un dé unique. Intuitivement, il est intéressant de relancer un dé (gratuitement) si la valeur obtenue est inférieure strictement à la valeur moyenne attendue pour le dé. En effet, une relance systématique ne change rien aux probabilités. Pour améliorer le résultat, il faut donc tenir compte du premier lancer. De plus, si on a obtenu 0, il est clair qu'on ne peut pas faire pire en relançant, donc on doit relancer. La zone grise correspond aux valeurs strictement positives. Prenons pour exemple le dé jaune, dont les probabilités sont les suivantes :

Valeur (dé jaune)	0	1	2
Probabilité	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)

La valeur moyenne de ce dé est de \(\displaystyle\frac{2}{3}\). Si on relance systématiquement seulement pour la valeur 0 (et jamais pour les autres), on obtient le nouveau tableau suivant :

Valeur (dé jaune)	0	1	2
Probabilité (relance à 0)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

Ceci donne une valeur moyenne au dé de 1, le rendant équivalent en moyenne à un dé orange (mais seulement en moyenne car le dé orange est plus variable, il donne plus souvent une valeur nulle ou une valeur de 2). Cette stratégie de relance augmente strictement la qualité du dé puisque les probabilités de valeurs non nulles augmentent toutes les deux.

Considérons maintenant la stratégie de relance systématique pour 0 et 1 (et donc jamais pour 2). On obtient les probabilités suivantes :

Valeur (dé jaune)	0	1	2
Probabilité (relance à 0 et 1)	\(\displaystyle\frac{5}{12}\simeq 0.42\)	\(\displaystyle\frac{5}{18}\simeq 0.28\)	\(\displaystyle\frac{11}{36}\simeq 0.30\)

Ceci donne une valeur moyenne de \(\displaystyle\frac{8}{9}\). Cette stratégie améliore le lancer unique mais moins que la précédente : non seulement la valeur moyenne est plus faible mais en outre les probabilités des valeurs positives restent aussi moins intéressantes. On constate même que la probabilité d'obtenir 1 a baissé par rapport au lancer unique.

De façon générale, on peut montrer que la meilleure amélioration en moyenne consiste à relancer systématiquement les valeurs en dessous de la moyenne sans relance. On obtient alors la table synthétique suivante :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3
Un dé jaune	\(\displaystyle\frac{2}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	0
Un dé jaune relancé pour 0	1	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	0
Un dé orange	1	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	0
Un dé orange relancé pour 0	\(\displaystyle\frac{13}{9}\simeq 1.44\)	\(\displaystyle\frac{1}{9}\simeq 0.11\)	\(\displaystyle\frac{4}{9}\simeq 0.44\)	\(\displaystyle\frac{4}{9}\)	0
Un dé rouge	\(\displaystyle\frac{3}{2}=1.5\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)
Un dé rouge relancé pour 0 et 1	\(\displaystyle\frac{23}{12} \simeq 1.92\)	\(\displaystyle\frac{1}{12}\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	\(\displaystyle\frac{1}{2}\)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)

Notons que contrairement à ce que j'ai pu lire par endroit, les relances ne rendent pas un dé faible équivalent d'un dé fort, sauf en moyenne pour le dé jaune (ce qui ne donne qu'une partie d'une forme d'équivalence).

Notons aussi que cette table correspond à une optimisation en moyenne. Dans certaines situations, on doit plutôt maximiser ses chances de succès. Si on doit faire 2 réussites pour une tâche quelconque et qu'on obtient 1 avec n'importe quel dé, il faut bien sur relancer le dé, même si en moyenne cela pourrait être néfaste. En effet, si on ne relance pas, on échoue !

Un exemple à 2 dés

La situation se complique singulièrement quand on doit étudier un ensemble de dés. Étudions par exemple Hadrathus équipé d'un kriss. Ce poignard donne un dé jaune relançable. Pour voir d'où provient la difficulté, il suffit de considérer une attaque basique à une gemme, soit donc à 2 dés jaunes dont un relançable. Quand on lance les 2 dés, on obtient les résultats résumés dans la table suivantes :

Probabilité	Dé 2 : 0	Dé 2 : 1	Dé 2 : 2
Dé 1 : 0	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	\(\displaystyle\frac{1}{12}\)
Dé 1 : 1	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	\(\displaystyle\frac{1}{9}\)	\(\displaystyle\frac{1}{18}\)
Dé 1 : 2	\(\displaystyle\frac{1}{12}\)	\(\displaystyle\frac{1}{18}\)	\(\displaystyle\frac{1}{36}\)

Chaque case indique la probabilité d'obtenir la configuration voulue. Par exemple la probabilité d'obtenir 2 sur le « premier » dé et 1 sur le « second » est de \(\displaystyle\frac{1}{18}\). On ordonne les dés pour faciliter l'analyse, mais elle s'applique à l'utilisation normale des dés (tous lancés simultanément).

Comme nous l'avons vu au dessus, il est intéressant de relancer les dés jaunes avec la valeur 0, mais on ne peut en relancer qu'un. Supposons que le dé 1 donne 0, et que le dé 2 donne 1, ce qui arrive avec une probabilité de \(\displaystyle\frac{1}{6}\). En relançant le dé 1, on obtient 0 avec \(\displaystyle\frac{1}{2}\), etc. Donc après relance du dé 1, la probabilité d'obtenir deux fois 1 n'est plus de \(\displaystyle\frac{1}{9}\) car il faut ajouter à cette probabilité la valeur \(\displaystyle\frac{1}{6}\times \frac{1}{3}\).

En reproduisant ce raisonnement pour tous les cas, on obtient la table suivante :

Probabilité	Dé 2 : 0	Dé 2 : 1	Dé 2 : 2
Dé 1 : 0	\(\displaystyle\frac{1}{8}\)	\(\displaystyle\frac{1}{12}\)	\(\displaystyle\frac{1}{24}\)
Dé 1 : 1	\(\displaystyle\frac{1}{6}\)	\(\displaystyle\frac{2}{9}\)	\(\displaystyle\frac{1}{9}\)
Dé 1 : 2	\(\displaystyle\frac{1}{12}\)	\(\displaystyle\frac{1}{9}\)	\(\displaystyle\frac{1}{18}\)

Le résultat n'est pas symétrique car nous avons supposé pour les calculs que si les deux dés étaient nuls, le dé 1 était relancé (c'est un choix sans conséquence sur l'analyse). Une fois la table établie, on peut calculer la probabilité d'obtenir de 0 à 4 dégâts, ce qui donne la table suivante :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3	4
Deux dés jaunes	\(\displaystyle\frac{4}{3}\simeq 1.33\)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	\(\displaystyle\frac{1}{3}\)	\(\displaystyle\frac{5}{18}\)	\(\displaystyle\frac{1}{9}\)	\(\displaystyle\frac{1}{36}\)
Deux dés jaunes avec une relance	\(\displaystyle\frac{11}{6}\simeq 1.83\)	\(\displaystyle\frac{1}{8}\)	\(\displaystyle\frac{1}{4}\)	\(\displaystyle\frac{25}{72}\)	\(\displaystyle\frac{2}{9}\)	\(\displaystyle\frac{1}{18}\)

Un élément remarquable du résultat est que la valeur moyenne des 2 dés jaunes avec une relance n'est pas égale à la valeur moyenne des dés pris séparément (0.66 pour un dé jaune sans relance, 1 pour un dé jaune avec une relance). Le fait de pouvoir choisir le dé qu'on relance améliore le résultat en moyenne. De la même façon, les probabilités des résultats numériques ne sont pas facile à obtenir directement. Sans relance, il suffit de multiplier les probabilités pour chaque dé. Avec relance, ceci ne fonctionne pas : la probabilité d'obtenir 2 avec un seul dé est de \(\displaystyle\frac{1}{6}\) sans relance et de \(\displaystyle\frac{1}{4}\) avec relance, mais la probabilité d'obtenir 4 avec les deux dés avec une relance autorisée n'est pas \(\displaystyle\frac{1}{24}\) mais \(\displaystyle\frac{1}{18}\).

Ceci montre que l'analyse de l'effet d'une relance n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire. Une richesse de plus dans le jeu, mais aussi une complexité de plus dans son réglage.

Cas général

Les probabilités dans le cas général se calculent de la même façon que ci-dessus. Pour les dés jaunes, on obtient par exemple la table suivante :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2 dés jaunes	1,333	25,000%	33,333%	27,778%	11,111%	2,778%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
1+1 dés jaunes	1,833	12,500%	25,000%	34,722%	22,222%	5,556%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
3 dés jaunes	2,000	12,500%	25,000%	29,167%	20,370%	9,722%	2,778%	0,463%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
2+1 dés jaunes	2,583	6,250%	16,667%	25,000%	25,926%	18,056%	6,944%	1,157%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
4 dés jaunes	2,667	6,250%	16,667%	25,000%	24,074%	16,512%	8,025%	2,778%	0,617%	0,077%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
3+1 dés jaunes	3,292	3,125%	10,417%	19,097%	23,148%	21,065%	14,352%	6,713%	1,852%	0,231%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
5 dés jaunes	3,333	3,125%	10,417%	19,097%	23,148%	20,448%	13,529%	6,816%	2,572%	0,707%	0,129%	0,013%	0,000%	0,000%
4+1 dés jaunes	3,979	1,563%	6,250%	13,542%	19,676%	21,123%	17,644%	11,703%	5,916%	2,090%	0,450%	0,045%	0,000%	0,000%
6 dés jaunes	4,000	1,563%	6,250%	13,542%	19,676%	21,123%	17,438%	11,325%	5,813%	2,347%	0,729%	0,167%	0,026%	0,002%
5+1 dés jaunes	4,656	0,781%	3,646%	9,115%	15,394%	19,377%	19,039%	15,065%	9,748%	5,096%	2,047%	0,582%	0,103%	0,009%

La notation 2+1 indique qu'on lance 3 dés dont 1 est relançable.

On constate dans la table que l'effet de pouvoir relancer un dé est d'autant plus important qu'on utilise un grand nombre de dés. Par exemple, le gain moyen en passant de 6 dés jaunes à 6 dés jaunes dont 1 est relançable est de 0,656, alors que ce gain n'est que de 0,5 quand on utilise 2 dés. De la même façon la valeur moyenne apportée par un dé relançable augmente en fonction du nombre de dés auxquels on ajoute le relançable. Par exemple si on a 2 dés et qu'on ajoute un troisième dé relançable, le gain moyen apporté par ce dernier est de 1,25. Si on a 5 dés, le gain moyen apporté par un sixième relançable est de 1,292.

Un autre point très important apparaît dans cette table : un dé relançable correspond presque à deux dés ! C'est de nouveau de plus en plus vrai quand on ajoute des dés. On remarque par exemple que la configuration 1+1 dés donne des résultats assez proches de la configuration 3 dés. Les probabilités de faible dégât sont identiques et les valeurs moyennes sont proches. Mais ce n'est rien pas rapport aux situations 4+1 dés versus 6 dés : les moyennes sont presque les mêmes et les probabilités sont extrêmement proches aussi. Bien entendu, la configuration 4+1 dés ne peut jamais atteindre les valeurs de 11 ou 12 dégâts, mais en pratique la configuration à 6 dés ne donnera presque jamais ces grandes valeurs.

Pour les dés oranges, on obtient une table assez semblable, avec bien sûr des valeurs plus élevées en moyenne :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2 dés oranges	2,000	11,111%	22,222%	33,333%	22,222%	11,111%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
1+1 dés oranges	2,556	3,704%	11,111%	29,630%	37,037%	18,519%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
3 dés oranges	3,000	3,704%	11,111%	22,222%	25,926%	22,222%	11,111%	3,704%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
2+1 dés oranges	3,704	1,235%	4,938%	12,346%	22,222%	29,630%	22,222%	7,407%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
4 dés oranges	4,000	1,235%	4,938%	12,346%	19,753%	23,457%	19,753%	12,346%	4,938%	1,235%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
3+1 dés oranges	4,802	0,412%	2,058%	6,173%	12,346%	19,342%	23,868%	21,399%	11,523%	2,881%	0,000%	0,000%	0,000%	0,000%
5 dés oranges	5,000	0,412%	2,058%	6,173%	12,346%	18,519%	20,988%	18,519%	12,346%	6,173%	2,058%	0,412%	0,000%	0,000%
4+1 dés oranges	5,868	0,137%	0,823%	2,881%	6,859%	12,346%	17,558%	20,576%	19,204%	13,032%	5,487%	1,097%	0,000%	0,000%
6 dés oranges	6,000	0,137%	0,823%	2,881%	6,859%	12,346%	17,284%	19,342%	17,284%	12,346%	6,859%	2,881%	0,823%	0,137%
5+1 dés oranges	6,912	0,046%	0,320%	1,280%	3,521%	7,362%	12,163%	16,415%	18,473%	17,375%	13,032%	7,133%	2,469%	0,412%

On observe des phénomènes similaires à ceux observés pour les dés jaunes :

plus on lance de dé, plus l'effet d'avoir un dé relançable parmi eux est important ;
un dé relançable est presque équivalent à deux dés non relançables.

La table pour les dés rouges est un peu trop volumineuse pour être incluse dans cette page, mais elle conduit grosso modo aux mêmes conclusions.

Conan contre le serpent géant

Avant le combat

Dans le scénario « Dans les griffes des Pictes », une stratégie très efficace pour l'overlord consiste à sortir le serpent géant de sa hutte dès le premier tour. En utilisant sa capacité à franchir les parois en les détruisant, le serpent peut atteindre l'entrée de la hutte de Zogar Sag en dépensant 4 points de mouvement, ce qui nécessite seulement une gemme de dépense pour l'overlord. Notons que l'overlord peut s'arranger pour démarrer son tour avec 13 gemmes. En activant directement le serpent, il dépense ainsi 6 gemmes d'activation plus une gemme pour le mouvement, conservant ainsi 6 gemmes pour d'autres actions (comme défendre le serpent).

La capacité de blocage du serpent fait que Conan doit l'abattre s'il veut entrer dans la hutte pour s'attaquer à Zogar Sag. Notons que Conan ne peut pas atteindre la hutte au premier tour car il lui faudrait dépenser 7 points de mouvement (le franchissement de la teinture de la hutte coûte 1 point supplémentaire). Or Conan ne peut pas dépenser plus de 6 points de déplacement dans un tour. En outre, un picte bloqueur est sur le chemin de Conan.

On peut donc supposer que dans son premier tour, Conan dépense une gemme pour atteindre le picte bloqueur puis le tue. Pour tuer ce guerrier, Conan doit faire 3 points de dégâts (pour passer l'armure de 2). Or Conan frappe avec des dés rouges et est équipée d'une hache qui lui donne un bonus d'un dé rouge relançable. La table en configuration 1+1 dés est la suivante :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3	4	5	6
1+1 dés rouges (relance 0 ou 1)	3,681	0,463%	4,630%	13,889%	21,759%	31,481%	22,222%	5,556%

On constate que Conan à moins d'une chance sur 5 de rater son coup avec une telle attaque. Si pour assurer le coup le joueur décide de dépenser 2 gemmes plutôt qu'une, Conan attaque avec 2+1 dés rouges selon la table suivante :

Condition	Valeur moyenne	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2+1 dés rouges (relance 0 ou 1)	5,359	0,077%	0,617%	3,086%	8,951%	16,975%	21,914%	23,148%	17,130%	6,944%	1,157%

Dans cette configuration, le risque d'échec est inférieur à 5 %, et on peut donc dire en première approximation que Conan tue le picte. On a ainsi dépensé 1 gemme de déplacement et 2 gemmes d'attaque. Il reste alors 5 gemmes à Conan (selon les règles de ce scénario). Il peut se positionner devant la porte de la hutte en dépensant 2 nouvelles gemmes. Cela lui permettra d'être actif au prochain tour avec au début du tour 5 gemmes.

Le combat lui même

Le serpent géant possède une défense passive de 3, ce qui plaide pour de grosses attaques (comme dans le combat entre Hadrathus et Zogar Sag). On voit notamment d'après la table ci-dessous qu'une attaque 1+1 dés rouges a autour de 41 % de chance de ne faire aucun dégât. Cette probabilité chute à moins de 13 % dans le cas d'une attaque à 2+1 dés rouges. Comme pour Hadrathus, la combinaison de petites attaques n'est pas intéressante : si on dépense 2 gemmes par tour, faire deux attaques à 1+1 dés rouges à de l'ordre de 16 % de chance de ne causer aucun dégât, contre 13 % pour une attaque à 2+1 dés rouges.

Comme je l'ai indiqué ci-dessus, Conan peut débuter le second tour avec 5 gemmes (avec un peu de chance). Or une grosse attaque à 5+1 dés rouges est assez dévastatrice : elle cause en moyenne plus de 10 points de dégâts et a plus que 94 % de chance de faire au moins 7 dégâts. Elle a même presque 45 % de chance de faire les 11 points de dégâts nécessaires pour tuer le serpent d'un seul coup. En enchaînant deux attaques à 5+1 (une au tour 2, puis la seconde au tour 4 après un tour de repos), Conan a légèrement plus 95 % de chance de tuer le serpent.

Cet exemple montre de nouveau la richesse du jeu par rapport à des systèmes plus simples dans lesquels la force des attaques n'est pas vraiment contrôlée par les joueurs. Dans Conan, la dépense en gemmes modifie de façon drastique les probabilités de succès et conditionne donc la stratégie.

Conclusion provisoire

On a vu dans cette analyse que les relances gratuites ont un impact très important sur les dégâts causés par les attaques. Le mécanisme de sélection à posteriori du dé (ou des dés) à relancer rend l'effet d'une relance plus complexe à analyser que dans une sélection à priori. En pratique, on peut se dire qu'un dé relançable est presque aussi puissant que deux dés non relançables.

La prise en compte de ces relances permet d'analyser d'autres combats que l'exemple d'Hadrathus contre Zogar Sag. Le cas épique de Conan contre le serpent confirme ce qui ressortait du combat des magiciens : la stratégie de dépense en gemmes a un effet majeur sur le déroulement du combat. On voit donc que pour analyser ces combats (et ainsi l'équilibre d'un scénario), il faut impérativement tenir compte des dépenses en gemmes, ce qui pose naturellement la question des défenses actives. Celles-ci feront l'objet d'une prochaine note.

Si vous avez des remarques, questions, suggestions pour la suite, etc. n'hésitez pas à me contacter.

Conan : les combats

2016-12-01T00:00:00+01:00

Conan est un jeu de stratégie à figurines basé sur l'univers créé par Robert E. Howard et en particulier sur son héros le plus connu Conan le Barbabre. La plupart des écrits de Robert Howard sont dans le domaine public, en particulier l'essentiel des nouvelles concernant Conan (en anglais).

Je me propose d'analyser « mathématiquement » le jeu dans une série de notes. Je mets mathématiquement entre guillemets car la complexité du jeu ne se prête pas à une analyse complète. Même pour des jeux simples, ces analyses sont extrêmement difficiles à réaliser. J'analyserai donc le jeu à mon niveau, en isolant certains aspects puis en compliquant progressivement le modèle simplifié pour m'approcher du jeu réel. Dans cette première note, j'étudie les combats dans une version très simplifiée (sans les relances et sans la défense active).

Principes généraux du jeu

Je ne vais pas entrer ici dans le détail des règles. Elle sont disponibles sur le site de l'éditeur. Je mentionnerai progressivement les éléments utiles pour l'analyse du jeu.

Conan met en scène un affrontement entre Conan et ses alliés d'une part, et un ensemble de d'adversaires, d'autre part. Chaque héros (Conan et ses alliés) est joué un par joueur, alors que l'ensemble des adversaires est contrôlé par un unique joueur, l'overlord. Le jeu est complètement dissymétrique, à la fois au niveau de l'organisation basique (un héros par joueur, un overlord pour jusqu'à une vingtaine d'adversaires) mais aussi dans certains mécanismes (les héros jouent sans ordre particulier alors que l'overlord utilise un mécanisme complexe de « rivière » pour activer ses troupes).

Les affrontements sont fortement scénarisés. Un scénario précise le terrain à utiliser (sous forme d'un magnifique plateau de jeu muni de zones), les héros disponibles (Conan et une sélection d'autres personnages), leurs équipements, les règles spécifiques (notamment les conditions de victoires), les troupes de l'overlord, la disposition de tout ce petit monde sur le plateau, etc.

Comme pour tous les jeux asymétriques, obtenir un équilibre entre les deux camps est très difficile. Mon objectif à terme est d'analyser certains scénarios pour voir s'il a été atteint.

Résolution des combats

Dans Conan, on se tape sur la tronche. L'attaquant lance une brouette de dés, en relance certains pour améliorer son score et obtient ainsi une certaine quantité de dégâts. Le défenseur lance à son tour une brouette de dés, en relance certains pour améliorer son score et soustrait le résultat aux dégâts. Le reste devient des blessures. Le principal mécanisme à analyser mathématiquement est donc celui des dés. Il faut noter que pour réaliser une action dans le jeu, il faut dépenser une ressource qui mesure la vitalité des personnages, les gemmes. Les mécanismes de gestion de ces gemmes sont aussi à analyser mathématiquement (ce qui est nettement plus complexe).

Les dés de Conan

Conan utilise trois types de dés à six faces :

les dés rouges: les plus puissants, les valeurs sont : 0, 1, 1, 2, 2 et 3 (c'est-à-dire qu'une face vaut 0, 2 faces valent 1, etc.) ;
les dés oranges: puissance intermédiaire, les valeurs sont : 0, 0, 1, 1, 2 et 2 ;
les dés jaunes: faible puissance, les valeurs sont : 0, 0, 0, 1, 1 et 2.

En faisant l'hypothèse que les dés sont équilibrés, les valeurs moyennes par dé sont donc :

Couleur	Rouge	Orange	Jaune
Valeur moyenne	1,5	1	0,667

En mesurant la variabilité des résultats par l'entropie, on constate que les dés sont d'autant plus variables qu'ils sont puissants, ce qui donne un côté épique aux dés rouges.

Une attaque sans relance

Une attaque consiste simplement à lancer quelques dés d'une (ou plusieurs) couleur(s) donnée(s), avec parfois possibilité de relance. Les couleurs des dés sont déterminées par la force physique du personnage (dés rouges pour Conan) et par son adresse (pour les attaques à distances), ainsi que par les armes utilisées (pour les héros). En général, une arme apporte un dé de plus à l'attaque (parfois deux).

Pour les héros, le nombre de dé de base (hors arme) est sous le contrôle du joueur : chaque gemme dépensée donne accès à un dé, dans des limites dépendant du personnage. Un héros peut donc attaquer plusieurs fois « faiblement » (donc avec peu de dés) ou une seule fois comme un bourrin (qui a dit Conan ?), c'est l'un des aspects stratégiques du jeu.

L'attaque sans relance n'est pas fréquente (la plupart des attaques offre des possibilités de relance et, surtout, les joueurs peuvent dépenser des gemmes pour relancer) mais elle est facile à analyser (justement parce qu'il n'y a pas de relance). Dans cette note, je me contente d'analyser ce cas simple sans relance.

Prenons par exemple un héros faible physiquement comme le magicien Hadrathus et équipons le d'une simple dague. Hadrathus attaque au corps à corps avec des dés jaunes. Il peut dépenser jusqu'à cinq gemmes par tour dans des attaques au corps à corps. Quand il dépense \(n\) gemmes, Hadrathus lance \(n+1\) dés jaunes grâce au bonus de la dague (qui apporte donc un dé jaune).

Les dégâts moyens produits sont alors les suivants en supposant qu'on dépense 5 gemmes (le maximum) :

Nombre d'attaques	Dés par attaque	Dégâts totaux moyens
1	1 fois 6	4
2	1 fois 3 et 1 fois 4	4,667
3	2 fois 3 et 1 fois 2	5,333
4	3 fois 2 et 1 fois 3	6
5	5 fois 2	6,667

Il est facile de voir que tout se passe comme si on ajoutait des dés (le dé de bonus de la dague) en attaquant plusieurs fois faiblement plutôt qu'une fois comme un Conan. Sauf qu'avec les défenses, les attaques faibles ne font pas de dégât. De ce fait, cette analyse en moyenne ne renseigne pas beaucoup sur les effets des attaques dès qu'on doit prendre en compte les défenses.

Défense passive

Les créatures contrôlées par l'overlord possèdent en général une défense passive fixe. Certains héros possèdent aussi une défense passive fixe contre certaines attaques (la compétence intouchable confère 1 point de défense passive contre les attaques à distance, par exemple). Certains équipements comme les armures confèrent une défense passive aléatoire dont l'effet est déterminé par un lancer de dé.

Considérons l'effet d'une défense passive fixe sur une attaque, avec l'exemple d'un chasseur picte (défense de 1). Le principe, très simple, est que la défense passive est soustraite au total de l'attaque. Avec une défense de 1, la valeur moyenne de l'attaque avec un seul dé est suffisamment faible pour qu'en général on ne touche pas le chasseur. Pour faire une analyse plus précise, il faut utiliser les probabilités d'obtenir chaque résultat possible. Par exemple pour un dé orange, on a :

Valeur du dé	0	1	2
Dégâts	0	0	1
Probabilité	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\)

On a donc seulement une chance sur trois de faire un point de dégât, ce qui conduit à un nombre moyen de 0,333 dégât (on remarque qu'on ne peut pas obtenir cette valeur en prenant le nombre moyen de dégât et en enlevant 1).

Cet effet de réduction des dégâts change complètement la donne pour l'optimisation des attaques. En effet, des petites attaques ont très peu de chance de causer des dégâts et il peut donc sembler plus logique de réaliser des attaques plus puissantes. L'analyse mathématique reste élémentaire, mais fastidieuse. Il faut en effet calculer la probabilité de chaque total de dommage qu'on peut obtenir en fonction des dés lancés, puis appliquer la défense passive, et enfin enchaîner les attaques

Hadrathus contre un chasseur picte

Reprenons l'exemple de notre cher Hadrathus avec sa dague et ses dés jaunes. Comme nous l'avons vu au dessus, Hadrathus peut lancer jusqu'à six dés (en dépensant cing gemmes et en ajoutant le bonus de la dague). Il peut donc faire de 0 à 12 dégâts avant application d'une défense passive. Après quelques calculs, on obtient la table de probabilités suivantes :

Dégâts	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2 dés	25%	33,333%	27,778%	11,111%	2,778%	0%	0%	0%	0%	0%	0%	0%	0%
3 dés	12,5%	25%	29,167%	20,37%	9,722%	2,778%	0,463%	0%	0%	0%	0%	0%	0%
4 dés	6,25%	16,667%	25%	24,074%	16,512%	8,025%	2,778%	0,617%	0,077%	0%	0%	0%	0%
5 dés	3,125%	10,417%	19,097%	23,148%	20,448%	13,529%	6,816%	2,572%	0,707%	0,129%	0,013%	0%	0%
6 dés	1,563%	6,250%	13,542%	19,676%	21,123%	17,438%	11,325%	5,813%	2,347%	0,729%	0,167%	0,026%	0,002%

Chaque ligne correspond à un nombre de dés et chaque colonne indique la probabilité d'obtenir les dégâts correspondants avec les dés utilisés. Par exemple si Hadrathus lance 4 dés, il a une chance sur quatre de faire 2 dégâts. Il faut noter que les scénarios de Conan sont courts (par exemple huit tours pour le scénario classique du village Picte). Ici, la plupart des grandes valeurs ont des probabilités très faibles d'être observées à la fois lors d'un tirage unique mais aussi dans une partie, voir au cours de 50 parties.

Supposons qu'Hadrathus attaque un chasseur picte. La défense de 1 de ce dernier implique que les deux premières colonnes du tableau ne sont plus à prendre en compte : les dégâts sont trop faibles pour passer la défense. Ainsi si Hadrathus lance 3 dés, sa probabilité de tuer le chasseur (qui n'a qu'un point de vie) est de \(\frac{5}{8}\) alors qu'avec 2 dés, elle descend à \(\frac{5}{12}\). Plus généralement, la probabilité de tuer le chasseur en fonction du nombre de dés est donnée par la table suivante :

Nombre de dés	Probabilité de tuer
2 dés	\(\frac{5}{12}\simeq 0,42\).
3 dés	\(\frac{5}{8}=0,625\)
4 dés	\(\frac{37}{48}\simeq 0,77\)
5 dés	\(\frac{83}{96}\simeq 0,86\)
6 dés	\(\frac{59}{64}\simeq 0,92\)

Comme prévu, cette probabilité augmente avec le nombre de dés lancés. On peut alors combiner ces calculs avec la décomposition possible des cinq gemmes en une à cinq attaques, ce qui permet de calculer la probabilité de tuer le chasseur picte pour chacune des stratégies. On suppose dans ce calcul que le joueur s'arrête dès qu'il a tué le chasseur. De ce fait, s'il commence par exemple par une attaque à 4 dés (trois gemmes) et qu'il rate son coup, il lui reste deux gemmes pour faire une nouvelle attaque à 3 dés cette fois ci. La probabilité de tuer le chasseur par cette opération est obtenue en ajoutant à \(\frac{37}{48}\) (probabilité de tuer directement le chasseur) \((1-\frac{37}{48})\frac{5}{8}\) (probabilité de rater l'attaque à 4 dés mais de réussir ensuite l'attaque à 3 dés. On obtient ici \(\frac{117}{128}\)). En reprenant ces calculs dans les différents cas décrits au dessus, on obtient les probabilités suivantes :

Nombre d'attaques	Dés par attaque	Probabilité de tuer
1	1 fois 6	\(\displaystyle\frac{59}{64}\simeq 0.922\)
2	1 fois 3 et 1 fois 4	\(\displaystyle\frac{117}{128}\simeq 0.914\)
3	2 fois 3 et 1 fois 2	\(\displaystyle\frac{235}{256}\simeq 0.918\)
4	3 fois 2 et 1 fois 3	\(\displaystyle\frac{4265}{4608}\simeq 0.926\)
5	5 fois 2	\(\displaystyle\frac{232025}{248832}\simeq 0.932\)

Les résultats sont assez surprenants. En effet, la probabilité de réussite des petites attaques (2 dés) est faible et on pourrait donc penser qu'il faut privilégier les grosses attaques. Or, la plus haute probabilité de succès est ici obtenue en réalisant 5 petites attaques. En outre cette suite d'attaque ne va en général pas consommer l'intégralité des cinq gemmes puisqu'on peut obtenir un succès (tuer le chasseur picte) dès la première attaque (qui ne consomme qu'une gemme). On constate que l'analyse en dégâts moyens ne renseigne pas du tout sur ce qui va se passer contre un adversaire avec une défense passive.

Hadrathus contre Zogar Sag

Dans le scénario « Dans les griffes des Pictes », l'un des objectifs des héros est de tuer le magicien Zogar Sag. Celui-ci a une défense passive de 3 et 5 points de vie. Comme il démarre enfermé dans une hutte, Conan ne peut pas l'atteindre dans le premier tour de jeu, puis il peut être défendu ensuite par un serpent géant (ouai…). En pratique, il n'est donc facilement attaquable que par Shevatas le voleur et Hadrathus le sorcier. Évaluons les chances de ce dernier.

Notons que pour atteindre la hutte, Hadrathus doit se téléporter, ce qui lui coûte 5 gemmes. Il démarre donc avec seulement 2 gemmes une fois dans la hutte. S'il ne se repose pas (choix qui le rend vulnérable), il ne disposera que de 2 gemmes par tour, ce qui est très faible en pratique. En effet, Hadrathus peut alors seulement faire une attaque à 3 dés ou deux attaques à 2 dés.

Une attaque à 2 dés ne peut que causer 1 point de dommage (au maximum) et ce avec une probabilité de seulement \(\displaystyle\frac{1}{36}\). Donc deux attaques à 2 dés ont donc une probabilité de \(\displaystyle\frac{1225}{1296}\simeq 0,94\) de ne faire aucun dégât. Sur 8 tours, Hadrathus a plus d'une chance sur deux (\(0,64\)) de ne faire absolument aucun dégât à Zogar Sag. Si on néglige la probabilité de faire 2 dégâts sur les 2 attaques (ce qui arrive une fois sur 1296…), la probabilité de tuer Zogar Sag est de l'ordre de 1 sur 1 million dans cette configuration. Le calcul est un peu plus complexe pour le cas de l'attaque à 3 dés (je le repousse à une prochaine note), mais l'ordre de grandeur dans ce cas est de moins de 3 chances sur 100.

De ce fait, on peut dire que des stratégies simples ne permettent pas à Hadrathus de tuer Zogar Sag, même sans aucune action de l'overlord.

Conclusion provisoire

L'analyse réalisée ici n'est que très partielle puisqu'on néglige un mécanisme crucial, celui de la relance des dés. J'ai aussi négligé l'effet de stratégies avancés qui font économiser des gemmes aux héros pour préparer une grosse attaque. Cependant, on a déjà vu que les grosses attaques ne sont pas très intéressantes sur des adversaires avec une défense passive de 1.

Si vous avez des remarques, questions, suggestions pour la suite, etc. n'hésitez pas à me contacter.

Mises à jour

5 décembre 2016 : petit bug de calcul sur les chances d'Hadrathus contre Zogar Sag.
6 décembre 2016 : amélioration de la présentation du gros tableau de probabilités
2 février 2017 : lien vers suite de l'analyse